Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)m=1，x＞1時(shí)，求證：f（x）＞0；
（2）若對(duì)于，均有f（x）＜2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，從而f（x）＞f（1）=0；
（2）對(duì)任意x∈[1，]，則f′（x）＜2 恒成立等價(jià)于，然后討論m的正負(fù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的最大值即可求出m的范圍．
解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x-，
 對(duì)?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0．
 （2）對(duì)任意x∈[1，]，∴f′（x）＜2 恒成立等價(jià)于
當(dāng)m=0時(shí)，∵，∴f（x）在[1，]上為單調(diào)減函數(shù)．∴f（x）_max=f（1）=0＜2
當(dāng)m＜0時(shí)，對(duì)任意x∈[1，]，，∴成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，
（a）當(dāng)4-4m²≤0，即m≥1時(shí)，f′（x）＞0對(duì)任意的恒成立，
∴f（x）在[1，]上是增函數(shù)．∴，
 由，解得．∴1≤m＜．
（b）當(dāng)4-4m²＞0，即0＜m＜1時(shí)，令f′（x）=0，得，令，得
1）當(dāng)0＜m≤時(shí)，，f（x）在[1，]上是減函數(shù)，∴f（x）_max=f（1）=0＜2．
2）當(dāng)＜m＜1時(shí)，，則f（x）在（1，x₂）上是減函數(shù)，∴f（x）在上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1或x=時(shí)，f（x）取最大值．∴，即，∴＜m＜1．
 綜上，m的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最值，同時(shí)考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題，注意分類(lèi)討論，計(jì)算量比較大．