【題目】如圖，三棱柱中，D是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，，平面平面.求平面與側(cè)面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接，記，連接，證明得到答案.

（2）證明，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量，利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，記，連接，故為中點(diǎn)，

D是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取邊中點(diǎn)點(diǎn)O，連接，，因?yàn)?/span>，為等邊三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，兩兩互相垂直.

故以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則由題意可知，，.

設(shè)平面的法向量，則，即，

令，解得，得.

顯然平面的一個(gè)法向量為.

∴，

∴二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在生活中，我們�？吹礁鞣N各樣的簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚.現(xiàn)有直徑為的圓面，在圓周上選定一個(gè)點(diǎn)固定在水平的地面上，然后將圓面撐起，使得圓面與南北方向的某一直線平行，做成簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚.設(shè)正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成角，若要使所遮陰影面的面積最大，那么圓面與陰影面所成角的大小為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某藥業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了2010-2019年這10年某種疾病的患者人數(shù)，結(jié)論如下：該疾病全國(guó)每年的患者人數(shù)都不低于100萬(wàn)，其中有3年的患者人數(shù)低于200萬(wàn)，有6年的患者人數(shù)不低于200萬(wàn)且低于300萬(wàn)，有1年的患者人數(shù)不低于300萬(wàn).

（1）藥業(yè)公司為了解一新藥品對(duì)該疾病的療效，選擇了200名患者，隨機(jī)平均分為兩組作為實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)，有顯著療效的共110人，實(shí)驗(yàn)組中有顯著療效的比率為70％.請(qǐng)完成如下的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9％把握認(rèn)為該藥品對(duì)該疾病有顯著療效；

實(shí)驗(yàn)組

對(duì)照組

合計(jì)

有顯著療效

無(wú)顯著療效

合計(jì)

200

（2）藥業(yè)公司最多能引進(jìn)3條新藥品的生產(chǎn)線，據(jù)測(cè)算，公司按如下條件運(yùn)行生產(chǎn)線：

該疾病患者人數(shù)（單位：萬(wàn)）

最多可運(yùn)行生產(chǎn)線數(shù)

1

2

3

每運(yùn)行一條生產(chǎn)線，可產(chǎn)生年利潤(rùn)6000萬(wàn)元，沒(méi)運(yùn)行的生產(chǎn)線毎條每年要虧損1000萬(wàn)元.根據(jù)該藥業(yè)公司這10年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，將患者人數(shù)在以上三段的頻率視為相應(yīng)段的概率、假設(shè)各年的患者人數(shù)相互獨(dú)立.欲使該藥業(yè)公司年總利潤(rùn)的期望值達(dá)到最大，應(yīng)引進(jìn)多少條生產(chǎn)線？

附：參考公式：，其中.

0.05

0.025

0.010

0.001

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l：3x+4y+m=0，圓C：x2+y2－4x+2=0，則圓C的半徑r=_____；若在圓C上存在兩點(diǎn)A，B，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____．

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【題目】端午節(jié)是我國(guó)民間為紀(jì)念?lèi)?ài)國(guó)詩(shī)人屈原的一個(gè)傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷(xiāo)售情況，隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查了該市1000名消費(fèi)者在去年端午節(jié)期間的粽子購(gòu)買(mǎi)量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購(gòu)買(mǎi)量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費(fèi)者粽子購(gòu)買(mǎi)量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬(wàn)名消費(fèi)者，請(qǐng)估計(jì)該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場(chǎng)需求（以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的購(gòu)買(mǎi)量）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將含有甲、乙、丙的6名醫(yī)護(hù)人員平均分成兩組到A、B兩家醫(yī)院參加“防疫救護(hù)”工作，則甲、乙至少有一人在A醫(yī)院且甲、丙不在同一家醫(yī)院參加“防疫救護(hù)”工作的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)，都在的圖象上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)所測(cè)量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個(gè)零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；

（2）若從這個(gè)零件中尺寸位于之外的零件中隨機(jī)抽取個(gè)，設(shè)表示尺寸在上的零件個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售，每箱個(gè). 企業(yè)在交付買(mǎi)家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為元. 若檢驗(yàn)，則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品；若不檢驗(yàn)，如果有二等品進(jìn)入買(mǎi)家手中，企業(yè)要向買(mǎi)家對(duì)每個(gè)二等品支付元的賠償費(fèi)用. 現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了個(gè)，結(jié)果有個(gè)二等品，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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