Question

給出下列四個命題，其中錯誤的命題是（　�。�
①若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是等邊三角形
②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
④若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形．

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：①中，由|cosα|≤1，且cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，可以推出A=B=C，判定①正確；
②中，由sinA=cosB=sin（

π

2

±B），推出A±B=

π

2

或A-B=0，判定②錯誤；
③中，由cosAcosBcosC＜0，得出cosA，cosB，cosC中必有一個為負(fù)，即△ABC為鈍角三角形，判定③正確；
④中，由sin2A=sin2B，得出A=B或A+B=

π

2

，即△ABC是等腰或直角三角形，判定④錯誤．

解答： 解：對于①，∵|cosα|≤1，且cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1；
又∵A、B、C∈（0°，180°），∴A-B=B-C=C-A=0°，
∴A=B=C=60°，∴△ABC是等邊三角形；∴①正確．
對于②，sinA=cosB=sin（

π

2

±B），即sinA=sin（

π

2

±B），
∴A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，則A±B=

π

2

或A-B=0；∴②錯誤．
對于③，∵cosAcosBcosC＜0，∴cosA，cosB，cosC中必有一個為負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)cosA＜0，則角A為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形；∴③正確．
對于④，sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形；∴④錯誤．
所以，以上錯誤的命題是②④．
故選：D．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了三角函數(shù)的應(yīng)用以及解三角形的有關(guān)問題，解題時應(yīng)熟練地掌握三角函數(shù)的常用公式并會靈活運用，是基礎(chǔ)題．