Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2n2-n

an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若對一切n∈N^*，都有S_n＜M成立（M為正整數(shù)），求M的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1，得a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1(n≥2)，兩式相減能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=

2n2-n

an

=

2n-1

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法求出Sn=6-

2n+3

2n-1

，由此能求出M的最小值．

解答： 解：（1）∵a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1，
∴a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1(n≥2)，
兩式相減，得an=n•2n-1（n≥2），…（3分）
又a1=21-1=1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=n•2n-1．…（5分）
（2）∵bn=

2n2-n

an

=

2n-1

2n-1

，…（6分）
∴Sn=

1

20

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，②
∴

1

2

Sn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+

1×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．
∴Sn=6-

2n+3

2n-1

…（11分），
∵Sn=6-

2n+3

2n-1

＜6，∴M≥6，
即M的最小值為6．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．