Question

若正方形的四個頂點均在y=-4x³+3x的圖象上，則這樣的正方形有

 

個．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：顯然該函數是奇函數，由圖象分析可知，正方形的中心應過原點，且兩對角線也過原點且分別關于原點對稱、相互垂直，據此可設兩對角線所在直線方程為y=kx，及y=-

1

k

x，分別與函數y=-4x³+3x聯(lián)立，求出交點坐標，利用兩對角線長度相等列出關于k的方程，判斷根的個數即可．

解答： 解：∵正方形的四個頂點均在y=-4x³+3x的圖象上，且該函數是奇函數，
所以正方形的中心過原點，由此設兩對角線所在直線方程為：y=kx，及y=-

1

k

x，
由

y=kx y=-4x3+3x

得4x²=3-k，
∴x=

3-k

2

或-

3-k

2

，且k＜3①，
將兩根代入y=kx，得正方形一條對角線兩交點為A（

3-k

2

，

k 3-k

2

），C（-

3-k

2

，-

k 3-k

2

）；
同理，將y=-

1

k

x代入y=-4x³+3x得4x²=3+

1

k

，k＞0或k＜-

1

3

②，
x=

1

2

3+ 1 k

或-

1

2

3+ 1 k

，分別代入y=-

1

k

x得B（

1

2

3+ 1 k

，-

1

2k

3+ 1 k

），D（-

1

2

3+ 1 k

，

1

2k

3+ 1 k

），
根據|OA|=|OB|得

3-k

4

+

k2(3-k)

4

=

1

4

(3+

1

k

)+

1

4k2

(3+

1

k

)，
整理得（

k2+1

k

）

k2-k-1

k

•

k2-2k-1

k

=0，
∴k²-k-1=0，或k²-2k-1=0
易知，這兩個方程的兩根之積都為-1，且根都滿足條件①②，
∴符合題意的正方形有2個．
故答案為：2．

點評：本題充分利用該函數的奇偶性以及正方形的對稱性，分析出正方形的中心是原點，且對角線互相垂直相等，通過列方程求k是解本題的關鍵，而由已知得到k應滿足的范圍，則是問題的易錯點．