【題目】已知函數(shù).

I)若曲線存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

II)求的單調(diào)區(qū)間;

III)設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)時, 上存在極小值.

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案見解析;(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為存在大于0的實(shí)數(shù)根,根據(jù)時遞增,求出的范圍即可;(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅲ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù),得到存在滿足,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的極小值,證出結(jié)論即可.

試題解析:I)由.

由已知曲線存在斜率為-1的切線,所以存在大于零的實(shí)數(shù)根,

存在大于零的實(shí)數(shù)根,因?yàn)?/span>時單調(diào)遞增,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.

II)由可得

當(dāng)時, ,所以函數(shù)的增區(qū)間為

當(dāng)時,若, ,若, ,

所以此時函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.

III)由及題設(shè)得,

可得,由(II)可知函數(shù)上遞增,

所以,取,顯然,

所以存在滿足,即存在滿足,所以, 在區(qū)間(1,+∞)上的情況如下:

0 +

極小

所以當(dāng)-1<a<0時,gx)在(1+∞)上存在極小值.

(本題所取的特殊值不唯一,注意到),因此只需要即可)

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【題目】已知函數(shù)

1當(dāng)時,若函數(shù)恰有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2當(dāng), 時,對任意,有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某縣政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實(shí)施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價:若用水量不超過12噸時,按4/噸計算水費(fèi);若用水量超過12噸且不超過14噸時,超過12噸部分按6.60/噸計算水費(fèi);若用水量超過14噸時,超過14噸部分按7.80/噸計算水費(fèi).為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,…,分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

(圖1) (圖2)

Ⅰ)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01);

求用戶用水費(fèi)用(元)關(guān)于月用水量(噸)的函數(shù)關(guān)系式;

Ⅲ)如圖2是該縣居民李某20171~6月份的月用水費(fèi)(元)與月份的散點(diǎn)圖,其擬合的線性回歸方程是.若李某20171~7月份水費(fèi)總支出為294.6元,試估計李某7月份的用水噸數(shù).

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上滿足恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.

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【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的2倍,且過點(diǎn)

⑴求橢圓的方程;

⑵若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)三點(diǎn)不共線),為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線直線,直線的斜率滿足.

(。┣笞C: 是定值;

(ⅱ)設(shè)的面積為當(dāng)取得最大值時,求直線的方程

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcos(x-).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期.

(Ⅱ)當(dāng)x∈[0, ]時,求函數(shù)f(x)的取值范圍.

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【題目】在四棱錐中,底面是矩形, 平面, 是等腰三角形, , 的一個三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),的延長線交于點(diǎn),連接.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)求二面角的正切值

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【題目】某港口有一個泊位,現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?康臅r間(單位:小時),如果?繒r間不足半小時按半小時計時,超過半小時不足1小時按1小時計時,以此類推,統(tǒng)計結(jié)果如表:

停靠時間

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

輪船數(shù)量

12

12

17

20

15

13

8

3

(Ⅰ)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?繒r間為小時,求的值;

(Ⅱ)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?小時,且在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá),求這兩艘輪船中至少有一艘在?吭摬次粫r必須等待的概率.

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【題目】給出下列命題:

① “若,則有實(shí)根”的逆否命題為真命題;

②命題“”為真命題的一個充分不必要條件是;

③命題“,使得”的否定是真命題;

④命題函數(shù)為偶函數(shù),命題函數(shù)上為增函數(shù),

為真命題.

其中,正確的命題是( )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④

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