已知點F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，點O為坐標原點，圓O是以F1，F(xiàn)2為直徑的圓，一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A，B．
（1）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達式；
（2）若，求直線l的方程；
（3）若，求三角形OAB面積的取值范圍．
【答案】分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關(guān)系式；
（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點的坐標與b和k之間的等式，再利用 以及（1）的結(jié)論求出b和k進而求得直線l的方程；
（3）用類似于（2）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．
解答：解：∵c=1且直線與圓O相切∴∵b＞0，∴
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則由，消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0
又
則．
由，∴k2=1，b2=2.，∴
直線l的方程為：y=±x+．
（3）由（2）知：，∴，∴，
由弦長公式得
解得∴．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，是對函數(shù)，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識點較多，是道難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢C：數(shù)學公式（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2數(shù)學公式，且∠BF1F2=數(shù)學公式．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，數(shù)學公式）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：崇明縣二模 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市崇明縣高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢C：（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF1F2=．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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