如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),D,E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率e=
3
2
,S△DEF2=1-
3
2
.若點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,則點(diǎn)N(
x0
a
,
y0
b
)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”.直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P,Q,已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)△AOB的面積是否為定值?若為定值,試求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由離心率e=
3
2
,S△DEF2=1-
3
2
,可得
c
a
=
3
2
,
1
2
(a-c)b=1-
3
2
,又a2=b2+c2.聯(lián)立解得即可.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(
x1
2
,y1)
,Q(
x2
2
,y2)
.由
OP
OQ
,可得
OP
OQ
=
x1x2
4
+y1y2=0
.(*)設(shè)直線l的方程為my+t=x,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,代入(*)可得m,t的關(guān)系,利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|,利用點(diǎn)的直線距離公式可得點(diǎn)O到直線AB的距離,利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出定值.
解答:解:(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,S△DEF2=1-
3
2

c
a
=
3
2
①,
1
2
(a-c)b=1-
3
2
②,又a2=b2+c2③.
由①②③組成方程組,解得a2=4,b2=1.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(
x1
2
,y1)
,Q(
x2
2
,y2)

OP
OQ
,∴
OP
OQ
=
x1x2
4
+y1y2=0
.(*)
設(shè)直線l的方程為my+t=x,聯(lián)立
my+t=x
x2+4y2=4
,化為(4+m2)y2+2mty+t2-4=0,
∵直線l與橢圓相交于兩點(diǎn),∴△=4m2t2-4(4+m2)(t2-4)>0,化為m2+4>t2.(**)
y1+y2=-
2mt
4+m2
,y1y2=
t2-4
4+m2
,
∴x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2
代入(*)可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0
t2-4-
2m2t2
4+m2
+t2=0
,
t2=
4+m2
2
,代入(**)知成立.
|AB|=
(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
(1+m2)[
4m2t2
(4+m2)2
-
4(t2-4)
4+m2
]
=
4
(1+m2)(4+m2-t2)
4+m2

點(diǎn)O到直線AB的距離d=
|t|
1+m2

又S△AOB=
1
2
|AB|•d
=2為定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)的直線距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、新定義、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•浦東新區(qū)二模)(1)設(shè)橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
與雙曲線C29x2-
9y2
8
=1
有相同的焦點(diǎn)F1、F2,M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn),且△MF1F2的周長(zhǎng)為6,求橢圓C1的方程;
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.
(2)如圖,已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3<x≤4)
.設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F(1,0)的距離為d1,M到直線l:x=3的距離為d2,求證:d1+d2為定值; 
(3)由拋物線弧E1:y2=4x(0≤x≤
2
3
)與第(1)小題橢圓弧E2
x2
a2
+
y2
b2
=1
2
3
≤x≤a
)所合成的封閉曲線為“盾圓E”.設(shè)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn),|FA|=r1,|FB|=r2且∠AFx=α(0≤α≤π),試用cosα表示r1;并求
r1
r2
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)設(shè)橢圓C1數(shù)學(xué)公式與雙曲線C2數(shù)學(xué)公式有相同的焦點(diǎn)F1、F2,M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn),且△MF1F2的周長(zhǎng)為6,求橢圓C1的方程;
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.
(2)如圖,已知“盾圓D”的方程為數(shù)學(xué)公式.設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F(1,0)的距離為d1,M到直線l:x=3的距離為d2,求證:d1+d2為定值;
(3)由拋物線弧E1:y2=4x(0數(shù)學(xué)公式)與第(1)小題橢圓弧E2數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式)所合成的封閉曲線為“盾圓E”.設(shè)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn),|FA|=r1,|FB|=r2且∠AFx=α(0≤α≤π),試用cosα表示r1;并求數(shù)學(xué)公式的取值范圍.

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