Question

已知橢C：（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

解：（1）∵以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=．
∴2a+2c=4+2，，
∴a=2，c=
∴
∴橢圓方程為．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB不被點(diǎn)Q平分；
當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)，l：y-=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
∵過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，
∴，
∴解得k=-．
∵
∴點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)
∴直線l：y-=-（x-1），即l：y=-x+1．
分析：（1）利用以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=，建立方程，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)斜率l不存在時(shí)，過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB不被點(diǎn)Q平分；當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)，設(shè)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，建立方程，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦中點(diǎn)問題，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．