【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

分析：（Ⅰ）由題意可得．兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)可證得．（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)在棱上可設(shè)，再由，得，由此可得，從而可得．然后可求得平面的法向量為，又平面的一個(gè)法向量，可得，然后結(jié)合圖形可得所求．

詳解：（Ⅰ）證明：底面， 平面，面，

∴，，

又，

∴．兩兩垂直．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則由題意得，

∴，

∴，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．

由點(diǎn)在棱上，

設(shè)，，

，

,

解得，

∴．

設(shè)平面的法向量為，則

由，得，

令，得．

由題意取平面的一個(gè)法向量．

∴，

由圖形知二面角是銳角，

所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國重要的主場外交活動，對推動國際和地區(qū)合作具有重要意義．某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測試成績（百分制），如莖葉圖所示．

（1）寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測試成績在70分以上的人數(shù)；

（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人．

①記表示選取4人的成績的平均數(shù)，求；

②記表示測試成績在80分以上的人數(shù)，求的分布和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，解不等式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】省農(nóng)科站要檢測某品牌種子的發(fā)芽率，計(jì)劃采用隨機(jī)數(shù)表法從該品牌粒種子中抽取粒進(jìn)行檢測，現(xiàn)將這粒種子編號如下，，，，若從隨機(jī)數(shù)表第行第列的數(shù)開始向右讀，則所抽取的第粒種子的編號是 ．（下表是隨機(jī)數(shù)表第行至第行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），若以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的極坐標(biāo)方程為，設(shè)是圓上任一點(diǎn)，連結(jié)并延長到，使.

(1)求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線與點(diǎn)軌跡相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了對2016年某校中考成績進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95． 參考公式：相關(guān)系數(shù) ，
回歸直線方程是： ，其中 ，
參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ．
（1）若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對應(yīng)如下表：

學(xué)生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x

60

65

70

75

80

85

90

95

物理分?jǐn)?shù)y

72

77

80

84

88

90

93

95

化學(xué)分?jǐn)?shù)z

67

72

76

80

84

87

90

92

①用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；
②求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），當(dāng)某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分時(shí)，估計(jì)其物理、化學(xué)兩科的得分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，表示的面積

（1）若求；

（2）若，，，證明:；

（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點(diǎn)恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的有________(只填序號)

①若直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi);

②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;

③若兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條直線一定與該平面相交;

④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面;

⑤若平面α∥平面β,直線aα,直線bβ,則直線a∥b.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線過點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

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