Question

【題目】已知函數(shù).

（1）指出函數(shù)的基本性質(zhì)：定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域（結(jié)論不需證明），并作出函數(shù)的圖象；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域：，是偶函數(shù)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，作圖見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和值域，并結(jié)合解析式作出該函數(shù)的圖象；

（2）令，可得出不等式在恒成立，然后利用參變量分離法得出，求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，結(jié)合題意可得知關(guān)于的方程的兩根，，然后利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布列出關(guān)于、的不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，函數(shù)是偶函數(shù)，

在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，

函數(shù)的最大值是，無(wú)最小值，值域?yàn)?/span>.

作圖如下：

（2）因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，

令，則，即不等式在恒成立.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以.

又，所以；

（3）關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解即有個(gè)不同的解，如下圖所示：

當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根；

當(dāng)或時(shí)， 方程無(wú)解.

設(shè)方程的兩根分別為、，則，.

令，則.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.