Question

某學(xué)校為響應(yīng)省政府號召，每學(xué)期派老師到各個(gè)民工子弟學(xué)校支教，以下是該學(xué)校50名老師上學(xué)期在某一個(gè)民工子弟學(xué)校支教的次數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

支教次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	5	10	20	15

根據(jù)上表信息解答以下問題：
（1）從該學(xué)校任選兩名老師，用η表示這兩人支教次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P₁；
（2）從該學(xué)校任選兩名老師，用ξ表示這兩人支教次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知條件得

f(4)＜0 f(5)＞0

，解得η=4，由此能求出事件A發(fā)生的概率P₁．
（2）從該學(xué)校任選兩名老師，用ξ表示這兩人支教次數(shù)之差的絕對值，ξ的可能取值分別是0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ηx-1過（0，-1）點(diǎn)，在區(qū)間（4，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則必有

f(4)＜0 f(5)＞0

，即：

16-4η-1＜0 25-5η-1＞0

，解得：

15

4

＜η＜

24

5

，
∵∈N^*，∴η=4．（3分）
當(dāng)η=4時(shí)，P₁=

C 2 20 +C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

．（6分）
（2）從該學(xué)校任選兩名老師，用ξ表示這兩人支教次數(shù)之差的絕對值，
則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，（7分）
P（ξ=0）=

C 2 5 + C 2 10 + C 2 20 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 10 +C 1 10 C 1 20 +C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P（ξ=2）=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P（ξ=3）=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，（10分）
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的數(shù)學(xué)期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

． …（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．