Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，點（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，n∈N^*．數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足
b₁=1，當n≥2時，S_n²=b_n（S_n-）
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）求S_n；
（3）設T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）c_n=，求T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知前件得到項之間的關系式，整理兩邊取對數(shù)可得要證的數(shù)列，要證一個數(shù)列為等比數(shù)列，就是要證明這個數(shù)列的每一項與它的前一項的之比是一個常數(shù)．
（2）把S_n²=b_n（S_n-）式子中的b_n換為S_n，得到前n項和的一個關系式，仔細觀察，得出{}為等差數(shù)列，S_n可求．
（3）由（1）可求1+a_n由冪的運算得出T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），由（2）可得c_n，由裂項法求出c₁+c₂+c₃+…+c_n，T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值可求．
解答：解：（1）由已知：∵a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²，
∵a₁=2，a_n+1＞1，兩邊取對數(shù)得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）當n≥2時，S_n²=b_n（S_n-）=（S_n-S_n-1）（S_n-），
展開整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
若S_n=0，則b_n=0，則S₂=1+b₂≠0矛盾，∴S_n≠0，
在等式兩側同除以S_nS_n-1得=2，
∴{}為等差數(shù)列，∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=．
（3）由（1）知∴l(xiāng)g（1+a_n）=2^n-1lg3=，∴1+a_n=，
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=…==，
∵c_n==-，，
c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-+-+-+…+-
=1-
∴T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）=（1-）．
點評：本題主要考查數(shù)列求和的裂項法、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，用定義來證明問題，此題訓練的學生的觀察能力，綜合運用信息的能力，用裂項法求和時，注意項的形式，分子上是一個常數(shù)，分母上可分解成兩個關于n的一次式相乘．