Question

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e＝，過點(diǎn)C(－1，0)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足＝λ(λ≥2)．

(1)若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；

(2)若λ為常數(shù)，當(dāng)△OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；

(3)若λ變化，且λ＝k²＋1，試問：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k(k∈R)分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸取得最大值？并求此時(shí)的橢圓方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝＝及a2＝b2＋c2得a2＝3b2． 　　故橢圓方程為x2＋3y2＝3b2．　　① 　　(1)因?yàn)橹本�l：y＝k(x＋1)交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，并且＝λ(λ≥2)． 　　∴(x1＋1，y1)＝λ(－1－x2，－y2)． 　　即　�、� 　　把y＝k(x＋1)代入橢圓得 　　(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0， 　　且Δ＝k2(3b2－1)＋b2＞0， 　　∴x1＋x2＝－，　�、� 　　x1x2＝． 　　因此S△OAB＝|y1－y2|＝|λ＋1|·|y2|＝|k|·|x2＋1|． 　　聯(lián)立②、③得x2＋1＝， 　　∴S△OAB＝·(k≠0)． 　　(2)S＝·≤·， 　　當(dāng)且僅當(dāng)3|k|＝，即k＝±時(shí)，S取得最大值，此時(shí)x1＋x2＝－1． 　　又x1＋1＝－λ(x2＋1)，∴x1＝，x2＝． 　　將x1，x2代入④得3b2＝． 　　故橢圓方程x2＋3y2＝(λ≥2)． 　　(3)由②、③聯(lián)立得x1＝－1，x2＝－1． 　　將x1，x2代入④得3b2＝＋1． 　　由k2＝λ－1得3b2＝＋1＝[＋]＋1． 　　易知，當(dāng)λ≥2時(shí)，3b2是λ的減函數(shù)，故當(dāng)λ＝2時(shí)，(3b2)max＝3． 　　所以，當(dāng)λ＝2，k＝±1時(shí)，橢圓短半軸的長取得最大值，此時(shí)橢圓方程為x2＋3y2＝3． 　　分析：首先考查橢圓的性質(zhì)．在(1)中既考查了直線方程、向量和二次方程等知識(shí)，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；在(2)中，考查了利用不等式求最值；在(3)中，既要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，巧妙地把與橢圓有關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，又要利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．

提示：

評(píng)注：本題以直線與橢圓為背景，向量為“紐帶”，把方程、不等式、函數(shù)聯(lián)系起來，體現(xiàn)了在方程，不等式、函數(shù)等知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題的思想．