Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=a_n•log₉a_n（n∈N^*），T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

解：（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N^*）
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n=3^n-1，于是，于是，
，
相減得：
解得：．
分析：（1）根據(jù)a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），類比可得a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），兩式相減即可；
（2）由（1）知a_n=3^n-1，可求，，利用錯位相減法即可求得T_n．
點評：本題考查數(shù)列的求和，重點考查學生的等差數(shù)列的通項公式與等比數(shù)列的求和公式，著重考查學生的錯位相減法求和，屬于中檔題．