已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R且a≠0.).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為45°,對(duì)于任意t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m2
]
在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.
分析:(1)先求導(dǎo)數(shù)f′(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,f′(x)>0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間.
(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到若f(x)在[1,2]上不單調(diào),只要極值點(diǎn)出現(xiàn)在這個(gè)區(qū)間就可以,得到對(duì)于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,從而求m的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=
a
x
-a=
a(1-x)
x
(x>0),
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞)
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)
(2)∵函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)傾斜角為45°,
∴f′(2)=
-a
2
=1,解得a=-2,所以f(x)=-2lnx+2x-3,
則函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
=x3+(
m
2
+2)x2-2x
,
故g′(x)=3x2+(m+4)x-2
因?yàn)間(x)在(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),且g′(0)=-2,
g′(t)<0
g′(3)>0

由題意知:對(duì)于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
綜上,
g′(1)<0
g′(2)<0 
g′(3)>0 
,解得-
37
3
<m<-9

故m的取值范圍為:-
37
3
<m<-9
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是:
(1)確定函數(shù)的定義域;
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);
(3)在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;
(4)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù),往往要分類(lèi)討論.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
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