【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，它的離心率為，且與直線x＋y－1＝0相交于M、N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求橢圓的方程．

【答案】

【解析】試題分析：設(shè)橢圓方程（a＞b＞0），依題意橢圓方程可轉(zhuǎn)化為，與直線x+y﹣1=0聯(lián)立，設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韋達(dá)定理可得到關(guān)于b的關(guān)系式，從而可求得b2與a2．

試題解析：

設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b.

∴橢圓方程為＋＝1.

把直線方程代入并化簡，得5x2－8x＋4－4b2＝0.

設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則

x1＋x2＝，x1x2＝ (4－4b2)．

∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)

＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝ (1－4b2)．

由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.

解得b2＝，a2＝.

∴橢圓方程為x2＋y2＝1.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】【2016高考北京文數(shù)】某市居民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

（I）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？

（II）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時，估計該市居民該月的人均水費(fèi).

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【題目】寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

(1)p：末位數(shù)字為9的整數(shù)能被3整除；

(2)p：有的素數(shù)是偶數(shù)；

(3)p：至少有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0；

(4)p：x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.

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【題目】設(shè)兩個非零向量 和 不共線．
（1）如果 = + ， =2 +8 ， =3 ﹣3 ，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；
（2）若| |=2，| |=3， 與 的夾角為60°，是否存在實數(shù)m，使得m + 與 ﹣ 垂直？并說明理由．

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【題目】已知， ，曲線上的任意一點(diǎn)滿足： .

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)， ，試問是否為定值？如果是定值，請求出這個定值，如果不是定值，請說明理由.

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【題目】已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，求直線l的方程．

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（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意的，存在使得成立，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin（2x﹣ ），x∈R．

（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫函數(shù)f（x）=2sin（2x﹣ ），x∈[0，π]的簡圖；
（2）求f（x）=2sin（2x﹣ ），x∈[﹣π，0]的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)g（x）=2cos2x的圖象只經(jīng)過怎樣的平移變換就可得到f（x）=2sin（2x﹣ ），x∈R的圖象？

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