Question

（本題滿分12分）如圖,已知四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,平面平面,四邊形是菱形,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面.

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線，解題時(shí)可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，�？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過平行線分線段成比例等；要證線線垂直，可通過征到線面垂直得到. （Ⅱ）使用空間向量求解空間角的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系后，將空間角轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，然后借助于直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何中的計(jì)算問題．二面角的范圍是.

試題解析：證明(1)取的中點(diǎn),連接.

由題意知且,且

,所以且,即

四邊形是平行四邊形,所以,

又平面,平面

所以平面.

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,則

,平面的法向量,設(shè)是平面的法向量,

由,令,

得

又二面角的平面角是銳角,

所以二面角的平面角的余弦值是

考點(diǎn)：線面平行、二面角