Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，由周期公式易得T=π，解2x-

π

6

=kπ+

π

2

可得對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=[sin（2x-

π

6

）+

3

2

]²-

1

4

，由二次函數(shù)區(qū)間的最值結(jié)合三角函數(shù)的值域可得．

解答： 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin（2x-

π

6

）+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

3

，
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=[f（x）]²+f（x）
=sin²（2x-

π

6

）+3sin（2x-

π

6

）+2
=[sin（2x-

π

6

）+

3

2

]²-

1

4

，
由二次函數(shù)可知，當(dāng)sin（2x-

π

6

）=-1時(shí)，g（x）取最小值0，
當(dāng)sin（2x-

π

6

）=1時(shí)，g（x）取最大值6，
∴g（x）的值域?yàn)閇0，6]

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．