Question

【題目】已知直線經(jīng)過橢圓: 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。

（1）求橢圓方程；

（2）求線段的長度的最小值；

（3）當(dāng)線段的長度最小時，在橢圓上有兩點(diǎn)，使得,的面積都為，求直線在y軸上的截距。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

（1）因為直線過橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，故可解出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）引入直線AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數(shù)k表示的方程，使其與直線l聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問的基礎(chǔ)上求出的參數(shù)k，則直線SB的方程已知，可求出線段SB的長度，若使面積為，只須點(diǎn)T到直線BS的距離為 即可，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)問題，求出平行直線l'，即有得到y軸上的截距．

解（1）由已知得橢圓的左頂點(diǎn) (-2，0)，上頂點(diǎn)（0，1），

得,故橢圓方程：

（2）直線AS的斜率k顯然存在，且大于0，故設(shè)直線AS：，

得

由得

設(shè)，則，可得

從而，即

B（2，0），直線BS：

可得，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時，線段長度最小值為。

（3），直線BS的方程為，

橢圓上有兩點(diǎn)使三角形面積為，則點(diǎn)到BS的距離等于，

設(shè)直線：，由，得或

①當(dāng)，聯(lián)立得，檢驗，符合題意。

②，聯(lián)立得，檢驗，舍去。

綜上所述，直線在y軸上的截距是