Question

已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，記△ABP，△BCP，△ACP的面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁：S₂：S₃等于（ ）
A．1：2：3
B．1：4：9
C．2：3：1
D．3：1：2

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知的等式變形可得 =-6 ，=-，從而得出P到BC的距離等于A到BC的距離的 ，P到AC的距離等于B到AC的距離的 ．從而有S₂ =S，S₃ =S，S₁ =S-S₂-S₃ =S即可解決問(wèn)題．
解答：解：如圖：設(shè)D、E 分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∵=0，∴-=-3（ +），
∴=-3×2 =-6 ，
同理由（ +）=-2（ +），即  2 =-2×，
∴=-．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的 ，
設(shè)△ABC的面積為S，則S₂ =S．
 P到AC的距離等于B到AC的距離的 ，
∴S₃ =S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =S．
∴S₁：S₂：S₃=S：S=S=3：1：2，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用、共線(xiàn)向量的意義，兩個(gè)同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．