Question

已知A（-6，0），B（6，0），點P在直線l：x-y+12=0上，若橢圓以A、B為焦點，以|PA|+|PB|的最小值為長軸長，求這個橢圓的方程．

Answer 1

解：設點A關于直線l：x-y+12=0的對稱點為C，連接BC交直線l于P₀，
根據平面幾何知識可得：當動點P與點P₀重合時，|PA|+|PB|取得最小值．
設C（m，n），則有，解之得
∴C的坐標為（-12，6），得|PA|+|PB|取得最小值為|CB|==6
∵橢圓以A、B為焦點，以|PA|+|PB|的最小值為長軸長，
∴設橢圓的方程為（a＞b＞0），滿足，
解之得a=3，b=3，
∴滿足條件的橢圓方程是．
分析：設點A關于直線l：x-y+12=0的對稱點為C，連接BC交直線l于P₀，根據平面幾何知識可得：當動點P與點P₀重合時，|PA|+|PB|取得最小值．然后根據直線AC的斜率等于-1和線段AC中點在直線l上，聯列方程組可解出C的坐標為（-12，6），從而得到|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=．最后設橢圓的方程為（a＞b＞0），根據橢圓的基本概念列出關于a、b的方程組，得到a=，b=，最終得出這個橢圓的方程．
點評：本題以直線上一個動點到兩個定點距離和取最小值為載體，求橢圓的標準方程，著重考查了點關于直線對稱、橢圓的基本概念等知識點，屬于中檔題．