Question

已知A（-6，0），B（6，0），點P在直線l：x-y+12=0上，若橢圓以A、B為焦點，以|PA|+|PB|的最小值為長軸長，求這個橢圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)點A關(guān)于直線l：x-y+12=0的對稱點為C，連接BC交直線l于P₀，根據(jù)平面幾何知識可得：當(dāng)動點P與點P₀重合時，|PA|+|PB|取得最小值．然后根據(jù)直線AC的斜率等于-1和線段AC中點在直線l上，聯(lián)列方程組可解出C的坐標(biāo)為（-12，6），從而得到|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=6

10

．最后設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)橢圓的基本概念列出關(guān)于a、b的方程組，得到a=3

10

，b=3

6

，最終得出這個橢圓的方程．

解答：解：設(shè)點A關(guān)于直線l：x-y+12=0的對稱點為C，連接BC交直線l于P₀，
根據(jù)平面幾何知識可得：當(dāng)動點P與點P₀重合時，|PA|+|PB|取得最小值．
設(shè)C（m，n），則有

kAC= n m+6 = -1 kl =-1 1 2 (m-6)- 1 2 n+12=0

，解之得

m=-12 n=6

∴C的坐標(biāo)為（-12，6），得|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=

(6+12)2+(0-6)2

=6

10

∵橢圓以A、B為焦點，以|PA|+|PB|的最小值為長軸長，
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），滿足

2a=6 10 a2-b2=36

，
解之得a=3

10

，b=3

6

，
∴滿足條件的橢圓方程是

x2

90

+

y2

54

=1．

點評：本題以直線上一個動點到兩個定點距離和取最小值為載體，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了點關(guān)于直線對稱、橢圓的基本概念等知識點，屬于中檔題．