Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)a=2，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定a的范圍即可．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，，令，解得x=1.

列表：

x		1
	—	0	+
		極小值

所以，當(dāng)x=1時(shí)，有極小值，沒(méi)有極大值

（2）①因?yàn)?/span>. 所以，.

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)時(shí)，由得，由得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在處取得極小值，即為最小值.

1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

2°當(dāng)時(shí)，，故，最多有兩個(gè)零點(diǎn).

注意到，令,

取，使得，下面先證明；

設(shè)，令，解得.

列表

x
	—	0	+
		極小值

所以，當(dāng)，有極小值.

所以，故，即.

因此，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，在上必存在一個(gè)零點(diǎn)，

又x=1也是的一個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，符合題意

3°當(dāng)時(shí)，，故，最多有兩個(gè)零點(diǎn).

注意到，取，

則

，

因此，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，在上必存在一個(gè)零點(diǎn)，

又x=1也是的一個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.