Question

【題目】如圖所示，四棱錐的側(cè)面底面，底面是直角梯形，且, , 是中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若，求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，易得， ，從而得平面，只需證得即可；

（2）設(shè)點(diǎn)O，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)，則，可證得平面，故兩兩垂直，可以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用即可得解.

試題解析：

（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示．

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)閭?cè)面, 且,

所以平面，又平面，所以．

又因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，所以，且．

又因?yàn)?/span>，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．

（2）設(shè)點(diǎn)O，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)，則，

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以，所以．

因?yàn)?/span>，由（Ⅰ）知，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以

所以為正三角形，所以，

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以．

又因?yàn)?/span>，所以平面．

故兩兩垂直，可以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量，

則所以取，則，

設(shè)與平面所成的角為，則，

因?yàn)?/span>，所以，所以與平面所成角的大小為．