Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當x=1時，f（x）取得極值-2．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當x∈[-3，3]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）是R上的奇函數(shù)則由f（0）=0求出d，代入并求出導函數(shù)，因為當x=1時，f（x）取得極值-2得到f（1）=-2，
f′（1）=0代入求得a、b，得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）求出f′（x）=0時x的解，利用導函數(shù)的正負來研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）思路是求出f（x）的最大值，m大于最大值即為恒成立，故利用導函數(shù)的增減性判斷出f（x）的最大值即可得到m的取值范圍．
解答：解：（I）由f（x）是R上的奇函數(shù)，有f（0）=0，所以d=0，
因此f（x）=ax³+cx，對函數(shù)f（x）求導得f′（x）=3ax²+c，
由題意得：f（1）=-2，f′（1）=0
所以解得a=1，c=-3
因此f（x）=x³-3x
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1；
令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，
因此f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）．
（Ⅲ）令f′（x）=0，得x₁=-1或x₂=1
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

從上表可知，f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值是18．
原命題等價于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18．
故m的取值范圍是（18，+∞）
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)增減性的能力，利用導數(shù)求函數(shù)極值的能力，理解不等式恒成立的條件．