Question

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，。數(shù)列的前項(xiàng)和為，且。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；

(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)數(shù)列，問是否存在正整數(shù) ，使得成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）存在正整數(shù) ，使得成等差數(shù)列。理由見解析。

【解析】

(1)利用等比數(shù)列基本量運(yùn)算即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；(2)由 得到 ，進(jìn)而求得 ，利用等差數(shù)列定義證明即可；(3) 因?yàn)?/span>，所以，利用反證法即可證明.

(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則由得，從而，又由得，因此，，

所以，。

(2)方法一：因?yàn)?/span>，所以，

從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，

故，

當(dāng)時(shí)，，且時(shí)適合，因此，，

從而當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，所以，數(shù)列為等差數(shù)列。

方法二：因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)時(shí)，有，

兩式相減得：，即，

故，即，

又由得，從而，故，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列。

(3)因?yàn)?/span>，

所以，

假設(shè)存在存在正整數(shù) ，使得成等差數(shù)列，則

，即，

令，則原問題等價(jià)于存在正整數(shù)，使得，即成立。

因?yàn)?/span>(因?yàn)?/span>)，故數(shù)列單調(diào)遞增，

若，即，則，

從而，即，而，

因此，，這與恒成立矛盾，故只能有，即，

從而，故，即， (*)

①若為奇數(shù)，，則記，從而，

因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，而，故，因此，(*)式無正整數(shù)解。

②若為偶數(shù)，則記，即，同理可得(*)無正整數(shù)解。

綜上，不存在存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，也即不存在正整數(shù) ，使得成等差數(shù)列。