Question

已知函數f（x）=x²-4sinθ•x-1，x∈[-1，

3

]，其中θ∈[0，2π]
（1）當θ=

π

6

時，求函數f（x）的最大最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-1，

3

]上存在反函數．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,反函數

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）把θ=

π

6

代入可得函數解析式，由二次函數區(qū)間的最值可得；
（2）可得函數的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=2sinθ，要滿足題意須使函數在該區(qū)間單調，可得 2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，解之可得．

解答： 解：（1）當θ=

π

6

時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
函數的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，
故當x∈[-1，1]時，函數單調遞減，
當x∈[1，

3

]時，函數單調遞增，
故當x=1時，函數取最小值f（1）=-2，
當x=-1時，函數取最大值f（-1）=2；
（2）可得f（x）=（x-2sinθ）²-1-4sin²θ，
函數的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=2sinθ，
要使函數y=f（x）在區(qū)間[-1，

3

]上存在反函數，
必須使函數在該區(qū)間單調，故2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，
可得sinθ≤-

1

2

，或sinθ≥

3

2

，
解之可得

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

，
故θ的取值范圍為：

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

點評：本題考查二次函數區(qū)間的最值，涉及三角函數和反函數的應用，屬中檔題．