Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足（p-1）S_n=p²-a_n
其中P為正常數(shù)，且P≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

2-logpan

（n∈N^*），求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）判斷是否存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

，即可得出；
（2）利用（1）即可得到b_n，再利用裂項(xiàng)求和即可得出；
（3）由（1）可得：a3n-2=p2-(3n-2)=p4-3n．．假設(shè)存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．轉(zhuǎn)化為p

n(5-3n)

2

＞p-230，通過(guò)對(duì)p分類討論即可判斷出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，(p-1)S1=p2-a1，化為pa1=p2，∵P為正常數(shù)，且P≠1，∴a₁=p．
當(dāng)n≥2時(shí)，由（p-1）S_n=p²-a_n，(p-1)Sn-1=p2-an-1，兩式相減得pa_n=a_n-1，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，

an

an-1

=

1

p

．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=p為首項(xiàng)，

1

p

為公比的等比數(shù)列，
∴an=p•(

1

p

)n-1=p^2-n．
（2）由（1）可得：bn=

1

2-lo g p2-n p

=

1

n

．∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴T_n=（1-

1

2

）+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）由（1）可得：a3n-2=p2-(3n-2)=p4-3n．．
假設(shè)存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．
則p^{1+（-2）+…+（4-3n）}＞p^2-78，化為p

n(5-3n)

2

＞p-76，（*）
①當(dāng)0＜p＜1時(shí)，（*）化為

n(5-3n)

2

＜-76，化為3n²-5n-152＞0，解得n＞8，
取M=8時(shí)，使得n＞8時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．
②當(dāng)p＞1時(shí)，（*）化為

n(5-3n)

2

＞-76，化為3n²-5n-152＜0，解得n＜8，
故不存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

求a_n、裂項(xiàng)求和、等價(jià)轉(zhuǎn)化、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．