Question

設(shè)數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求a₂，a₃的值； 
（2）證明：數(shù)列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列；
（3）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（4）設(shè)T_n=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

，求證：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式即可得出；
（2）a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即可證明；
（3）利用等差數(shù)列的通項公式與“累加求和”即可得出；
（4）由（2）可知：

1

(n+2)an

=

1

(n+2)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，利用“裂項求和”即可得出．

解答： （1）解：∵a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
∴a₂=2a₁-a₀+2=2×2-0+2=6，
a₃=2a₂-a₁+2=2×6-2+2=12．
（2）證明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
化為（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列，且首項 a₁-a₀=2-0=2，公差為2．
（3）解：由（2）可得a_n-a_n-1=a₁-a₀+2（n-1）=2+2（n-1）═2n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…++2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）．
（4）證明：由（2）可知：

1

(n+2)an

=

1

(n+2)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴T_n=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

=

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+(

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

)]
=

1

2

[

1

1×2

-

1

(n+1)(n+2)

]=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

．
∴T_n＜

1

4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”、“裂項求和”，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．