Question

【題目】已知集合.對于的一個子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對于中的任意一對元素,都有,則稱具有性質.

（Ⅰ）當時,試判斷集合和是否具有性質?并說明理由.

（Ⅱ）若時，

①若集合具有性質,那么集合是否一定具有性質?并說明理由;

②若集合具有性質,求集合中元素個數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）當時,,結合新定義的性質P可知集合不具有性質.集合具有性質.

（Ⅱ）當時,,

①若集合具有性質,那么對于中的任意兩個元素,存在成立,則對于中的任意兩個元素成立,所以集合一定具有性質.

②已知,設是中最小的元素,則,并且.可得集合中元素最多的理想狀態(tài)是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時滿足.很明顯不存在滿足上式的,理想狀態(tài)不存在.接下來,令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個,討論可得集合中元素個數(shù)的最大值是.

試題解析：

（Ⅰ）當時,,

,對于中的任意兩個元素,不存在,

所以集合不具有性質.

,對于中的任意兩個元素,存在,

所以集合具有性質.

（Ⅱ）當時,,

①若集合具有性質,那么對于中的任意兩個元素,存在成立,

集合{},則對于中的任意兩個元素,

一定存在成立,

所以集合一定具有性質.

②已知,設是中最小的元素,

則有,

并且,

并且,

以此類推

,并且

.

因為要求集合中元素個數(shù)的最大值,不妨從集合中排除不滿足條件的元素.

令,則有

,并且

.

故集合中的元素被分為兩部分,從開始以個數(shù)為一組進行分組,第一組的元素在集合中,第二組的元素不在集合中,第三組的元素在集合中,第四組的元素不在集合中,以此類推,一直到集合中沒有元素.

所以集合中元素最多的理想狀態(tài)是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時滿足.

因為是奇數(shù),是偶數(shù),所以為偶數(shù),則有.

然而是質數(shù),不存在滿足上式的,理想狀態(tài)不存在.

接下來,令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個,此時滿足,即,此時顯然越大,集合中元素越多.

取,得,此時集合中元素最多,為.

所以,集合中元素個數(shù)的最大值是.