Question

已知橢圓經過點，兩焦點為F₁、F₂，短軸的一個端點為D，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點（A、B不是上下頂點），當以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1）時，試問：直線l是否過定點，若過定點．求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據焦點為F₁、F₂，短軸的一個端點為D，且，可得△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，再利用橢圓經過點，即可求得橢圓的方程；
（2）①當直線l的斜率不存在時，設l：x=m，代入橢圓方程，求得A，B的坐標，利用以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1），可求l的方程；②當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+b，代入橢圓方程，利用以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1），結合韋達定理，可得結論．
解答：解：（1）∵焦點為F₁、F₂，短軸的一個端點為D，且
∴△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c
∴a=
∴
∵橢圓經過點，
∴
∴b=1
∴
∴橢圓的方程為；
（2）①當直線l的斜率不存在時，設l：x=m，代入橢圓方程，可得
∴A（m，），B（m，-），
∵以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1）
∴
∴（m，-1）•（m，--1）=0，
∴m=0
∴l(xiāng)：x=0；
②當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+b，代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
△=16k²-8b²+8＞0，∴2k²＞b²-1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1）
∴
∴=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴3b²-2b-1=0
∴或b=1
當b=1時，不符合題意；
當時，直線l恒過定點（0，-）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查計算能力，屬于中檔題．