Question

已知橢圓C：，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：（c是橢圓的焦半距）相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N．
（1）若橢圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)c為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)E，并求的值（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令橢圓mx²+ny²=1，得，由此能求出橢圓方程．
（2）直線，設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)O，M，P，N所在的圓的方程為x²-xx+y²-yy=0，與圓作差，即有直線，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在直線AB上，所以，由此能求出 的值．
（3）由直線AB與圓G：相離，知e⁴-6e²+4＞0．因?yàn)?＜e＜1，所以，連接ON，OM，OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：（1）令橢圓mx²+ny²=1，其中，
得，所以，即橢圓為．         …（3分）
（2）直線，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則OP中點(diǎn)為，
所以點(diǎn)O，M，P，N所在的圓的方程為，
化簡(jiǎn)為x²-xx+y²-yy=0，…（5分）
與圓作差，即有直線，
因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在直線AB上，所以，
所以，所以，
得，，故定點(diǎn)，…（8分）
．                          …（9分）
（3）由直線AB與圓G：（c是橢圓的焦半距）相離，
則，即4a²b²＞c²（a²+b²），4a²（a²-c²）＞c²（2a²-c²），
得e⁴-6e²+4＞0
因?yàn)?＜e＜1，所以，①…（11分）
連接ON，OM，OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以，a²b²≤c²（a²+b²），a²（a²-c²）≤c²（2a²-c²），得e⁴-3e²+1≤0
因?yàn)?＜e＜1，所以，②…（14分）
由①②，，
所以．                                     …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．