已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有丨FA丨=丨FD丨．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，
（ⅰ）證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；
（2）（�。┰O(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，利用直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，寫出直線AE的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)；
（ⅱ） 利用弦長(zhǎng)公式求出弦AB的長(zhǎng)度，再求點(diǎn)E到直線AB的距離，得到關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值．
解答： 解：（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，
A（3，
6p
），F(xiàn)（
p
2
，0），|AF|=3+
p
2
，
∴|FD|=|AF|=3+
p
2
．
∵△ADF為正三角形，
∴|FG|=
1
2
|FD|=
3
2
+
p
4
．
 又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-
p
2
，
∴3-
p
2
=
3
2
+
p
4
，
∴p=2．
∴C的方程為y2=4x．
當(dāng)D在焦點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，|FD|=|AF|=3+
p
2
．
又|FD|=2|FG|=2（
P
2
-3）=p-6，
∵△ADF為正三角形，
∴3+
p
2
=p-6，解得p=18，
∴C的方程為y2=36x．此時(shí)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸，不成立，舍．
∴C的方程為y2=4x．
 （2）（ⅰ）設(shè)A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAB=-
y1
2
．
由直線l1∥l可設(shè)直線l1方程為y=-
y1
2
x+m，
聯(lián)立方程
y=-
y1
2
x+m
y2=4x
，消去x得y1y2+8y-8m=0     ①
由l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
這時(shí)方程①的解為y=-
4
y1
=2m，代入y=-
y1
2
x+m得x=m2，∴E（m2，2m）．
點(diǎn)A的坐標(biāo)可化為(
1
m2
，-
2
m
)，直線AE方程為y-2m=
2m+
2
m
m2-
1
m2
（x-m2），
即y-2m=
2m
m2-1
(x-m2)，
∴y=
2m
m2-1
x-
2m3
m2-1
+2m，
∴y=
2m
m2-1
x-
2m
m2-1
，
∴y=
2m
m2-1
(x-1)，
∴直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）；
（ⅱ）直線AB的方程為y-y1=-
y1
2
(x-
y
2
1
4
)，即x=-
2
y1
y+
y
2
1
4
+2．
聯(lián)立方程
x=-
2
y1
y+
y
2
1
4
+2
y2=4x
，消去x得y2+
8
y1
y-(
y
2
1
+8)=0，
∴y1+y2=-
8
y1
，
∴|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=
1+
4
y
2
1
|2y1+
8
y1
|，
由（�。c(diǎn)E的坐標(biāo)為E(
4
y
2
1
，-
4
y1
)，點(diǎn)E到直線AB的距離為：
d=
|
8
y
2
1
+
y
2
1
4
+2-
4
y
2
1
|
1+
4
y
2
1
=
|
4
y
2
1
+
y
2
1
4
+2|
1+
4
y
2
1
，
∴△ABE的面積S=
1
2
|AB|•d=
1
2
|2y1+
8
y1
|•|
4
y
2
1
+
y
2
1
4
+2|=2|
y1
2
+
2
y1
|3≥2×23≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)y1=±2時(shí)等號(hào)成立，
∴△ABE的面積最小值為16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程求法，切線方程的求法，定點(diǎn)問(wèn)題與最值問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足a3•a7=32，a2+a8=12，且bn=2-an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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（1）求證：BC⊥A1D；
（2）求直線A1C與平面A1BD所成角的余弦值．

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在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若cosB=
1
3
，求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（Ⅱ）若△ABC的周長(zhǎng)為6，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，在A處分別測(cè)得山頂上鐵塔的塔頂E的仰角為θ和山腳點(diǎn)O（點(diǎn)O是點(diǎn)E在公路所在平面上的射影）的方位角是西偏北φ，再行駛akm到達(dá)B處，測(cè)得山腳點(diǎn)O的方位角是西偏北β．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，用測(cè)量的數(shù)據(jù)和有關(guān)公式寫出計(jì)算OE的步驟．

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如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H．
（1）求證：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)．

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已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），設(shè)直線l1，l2分別是曲線y=f（x）的兩條不同的切線．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為-4．
（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直線l3亦與曲線y=f（x）相切，且三條不同的直線l1，l2，l3交于點(diǎn)G（m，4），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l1∥l2，直線l1與曲線y=f（x）切于點(diǎn)B且交曲線y=f（x）于點(diǎn)D，直線l2和與曲線y=f（x）切于點(diǎn)C且交曲線y=f（x）于點(diǎn)A，記點(diǎn)A，B，C，D的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，xC，xD，求（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t≤2）左側(cè)的圖形的面積為f（t），則
（Ⅰ）函數(shù)f（t）的解析式為
 
；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象在點(diǎn)P（t0，f（t0））處的切線的斜率為
2
3
3
，則t0=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐A-BDA1的體積為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案