【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥1時,g(x)的最小值大于 ﹣lna,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).,
當(dāng)0<x<1時,f'(x)<0;當(dāng)x>1時,f'(x)>0.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)
(2)解:易知g'(x)=x﹣lnx+a﹣1=f(x).
由(1)知,f(x)≥f(1)=a>0,
所以當(dāng)x≥1時,g'(x)≥g'(1)=a>0.
從而g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x)的最小值 .
依題意得 ,即a+lna﹣1>0.
令h(a)=lna+a﹣1,易知h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以h(a)>h(1)=0,所以a的取值范圍是(1,+∞)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用g'(x)=x﹣lnx+a﹣1=f(x).結(jié)合(1)知,判斷g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求出g(x)的最小值,推出a+lna﹣1>0,令h(a)=lna+a﹣1,利用h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.求解a的范圍.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為,上焦點到直線的距離為3,橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓,設(shè)過點斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點,試問軸上是否存在點,使得?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a,b的兩個黑球和編號為c,d,e的三個紅球,從中任意摸出兩個球.
(1)求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率:
(2)求至少摸出1個黑球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)>1.
(2)當(dāng)x>0時,函數(shù)g(x)= (a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x),試求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若點的極坐標(biāo)為,是曲線上的一動點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作,書中卷上第二十三問:“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈.問日益幾何?”其意思為“有個女子織布,每天比前一天多織相同量的布,第一天織五尺,一個月(按30天計)共織390尺.問:每天多織多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多織的布的布約有( )
A.0.55尺
B.0.53尺
C.0.52尺
D.0.5尺
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查家庭的月收入與月儲蓄的情況,某居民區(qū)的物業(yè)工作人員隨機抽取該小區(qū)20個家庭,獲得第個家庭的月收入(單位:千元)與月儲蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,計算得:,,,,.
(1)求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程;
(2)指出(1)中所求出方程的系數(shù),并判斷變量與之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為9千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正三棱錐P﹣ABC中E,F(xiàn)分別是AC,PC的中點,若EF⊥BF,AB=2,則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積( )
A.4π
B.6π
C.8π
D.12π
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