Question

函數(shù)f（x）滿足，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁x₂）的最小值為________．

Answer 1

分析：先通過解方程得函數(shù)f（x）的解析式，由f（x₁）+f（x₂）=1，代入解析式并化簡后得lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3，利用均值定理即可求得ln（x₁•x₂）的取值范圍，最后將x₁•x₂代入解析式得f（x₁x₂），利用函數(shù)單調性即可得其范圍
解答：∵，∴l(xiāng)nx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=
∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴+===1
∴l(xiāng)nx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3
∵x₁，x₂均大于e
∴l(xiāng)nx₁，lnx₂均大于1
∴l(xiāng)nx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3≤=
∴l(xiāng)n²（x₁•x₂）-4ln（x₁•x₂）-12≥0
∴l(xiāng)n（x₁•x₂）≤-2（舍去）或ln（x₁•x₂）≥6
∴l(xiāng)n（x₁•x₂）≥6
∵f（x₁x₂）==1-≥1-=
（當且僅當即x₁=x₂=e³時取等號）
故答案為
點評：本題考查了求函數(shù)解析式的方法，對數(shù)運算及對數(shù)變換技巧，利用均值定理及函數(shù)性質求最值的方法