Question

已知函數(shù)f（x）滿足，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)，可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，可得函數(shù)在[-1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，
可得當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x² ，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（x-2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

把點(diǎn)（3，1）代入y=kx+k，可得k=，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．