Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），取倒數(shù)，可得{

1

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，求出S_n=

1

2n-1

（n=1也滿足），再利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∵a₁=1，
∴{

1

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

（n=1也滿足），
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

-2

(2n-1)(2n-3)

，
n=1時，不符合，
∴a_n=

1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，由S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），取倒數(shù)，可得{

1

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵．