Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），且滿足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對任意m∈（0，2]，關(guān)于x的不等式f（x）＜m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+a²的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），
∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩個根分別是1和2，且a＞0，
從f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1，
又，解得，
∴f（x）=x³-x²+6x+1．
（2）由（1）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
當x∈[2，+∞）時，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
對x∈[2，+∞），當x=2時，f（x）min=f（2）=3，
要使f（x）＜m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，
只需f_min（x）＜m³-mlnm-mt+3，即3＜m³-mlnm-mt+3對任意m∈（0，2]恒成立，
也即mt＜m³-mlnm對任意m∈（0，2]恒成立，即t＜m²-lnm對任意m∈（0，2]恒成立，
設h（m）=m²-lnm，m∈（0，2]，則t＜h（m）_min，
h′（m）=m-==，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），
當m∈（0，2]時，h′（m）與h（m）的變化情況如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+
h（m）	↘	極小值	↗	2-ln2

∴m=1時，h（m）min=h（m）極小值=，
所以t＜，即實數(shù)t的取值范圍為t＜．
分析：（1）由題意可知f'（x）＜0的解集為（1，2），即f'（x）=0的兩根為1，2，利用韋達定理以及f（0）=1，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對任意m∈（0，2]，不等式f（x）＜m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，等價于f_min（x）＜m³-mlnm-mt+3對任意m∈（0，2]恒成立，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題即可．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值求解、不等式恒成立等問題，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強，難度大．