Question

如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長軸是圓的直徑，、是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

Answer 1

（1）；當(dāng)直線的方程為時(shí)，的面積取最大值.

解析試題分析：（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，先利用弦心距、半徑長以及弦長之間滿足的關(guān)系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長
，然后根據(jù)直線與兩者所滿足的垂直關(guān)系設(shè)直線，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線截橢圓的弦長，然后求出的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.
試題解析：（1）由題意得，
橢圓的方程為；
（2）設(shè)、、，
由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，
故點(diǎn)到直線的距離為，又圓，
，
又，直線的方程為，
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
，
設(shè)的面積為，則
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號，
當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，
此時(shí)直線的方程為
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與圓、橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式