Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使（

OP

+

OF2

）•

PF2

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)向量條件（

OP

+

OF2

）•

PF2

=0得到△F₁PF₂是直角三角形，根據(jù)橢圓的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵（

OP

+

OF2

）•

PF2

=0，
∴平行四邊形OPBF₂的對(duì)角線互相垂直，
即平行四邊形OPBF₂是菱形，
∵橢圓

x2

4

+y²=1，∴a=2，b=1，c=

4-1

=

3

，
即OP=OF₂=

3

，即平行四邊形OPBF₂的邊長為

3

，
∴△F₁PF₂是直角三角形，
設(shè)PF₂=x，PF₁=y，
則x+y=2a=4，
平方得x²+2xy+y²=16，
∵x²+y²=（2c）²=12，
∴2xy=16-12=4，即xy=2，
則△F₁PF₂的面積為

1

2

xy=

1

2

×2=1，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)向量條件得到△F₁PF₂是直角三角形時(shí)解決本題的關(guān)鍵．