Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出，令，則，分和兩種情況討論

（2）由（1）可知，，所以，要證：，即證，然后構(gòu)造函數(shù)即可.

（1）由題意可知，的定義域?yàn)?/span> 且

令

則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于

在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

由可知，

當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去.

當(dāng)時(shí)，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故要滿足題意，必有 解得：

（2）證明：由（1）可知，，所以

故要證：

即證：

即證：不妨設(shè)，即證

構(gòu)造函數(shù)： ，其中

由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，原式得證.