Question

已知函數f（x）=x²的圖象在點A（x₁，f（x₁））與點B（x₂，f（x₂））處的切線互相垂直，并交于點P，則點P的坐標可能是（　�。�

• A、（-

  3

  2

  ，3）
• B、（0，-4）
• C、（2，3）
• D、（1，-

  1

  4

  ）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：由已知函數解析式求得A，B的坐標，求出原函數的導函數，得到函數在A，B兩點出的導數值，由圖象在點A（x₁，f（x₁））與點B（x₂，f（x₂））處的切線互相垂直得到x1x2=-

1

4

，由點斜式寫出過A，B兩點的切線方程，通過整體運算求得y=x1x2=-

1

4

，即P點縱坐標為-

1

4

，然后逐一核對四個選項可得答案．

解答： 解：由題意可知，A(x1，x12)，B(x2，x22) （x₁≠x₂），
由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
則過A，B兩點的切線斜率k₁=2x₁，k₂=2x₂，
又切線互相垂直，
∴k₁k₂=-1，即x1x2=-

1

4

．
兩條切線方程分別為l1：y=2x1x-x12，l2：y=2x2x-x22，
聯(lián)立得（x₁-x₂）[2x-（x₁+x₂）]=0，
∴2x-（x₁+x₂）=0，x=

x1+x2

2

．
代入l₁得，y=x1x2=-

1

4

，
結合已知選項可知，P點坐標可能是D．
故選：D．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，曲線上過某點的切線的斜率，就是該點處的導數值，考查了整體運算思想方法，是中檔題．