Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，求出f（x）的定義域，先按（1）a≤0，（2）a＞0兩種情況進(jìn)行討論，其中a＞0時(shí)分為：x≥a，0＜x＜a討論去絕對(duì)值符號(hào)，然后，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷單調(diào)性．

解答： 解：∵f（x）=x|x-a|-lnx，
∴x＞0，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．下面分（1）a≤0，（2）a＞0兩種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x²-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x=

a+ a2+8

4

＞a，或x=

a- a2+8

4

＜a（舍），
∴f（x）=x|x-a|-lnx的增區(qū)間為[

a+ a2+8

4

，+∞），在區(qū)間（0，

a+ a2+8

4

）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
①當(dāng)x≥a時(shí)，f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x1=

a+ a2+8

4

或x₂=

a- a2+8

4

（舍），
（i）若

a+ a2+8

4

≤a，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增．
（ii）若

a+ a2+8

4

＞a，即0＜a＜1，
則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在區(qū)間（0，

a+ a2+8

4

）上是單調(diào)減函數(shù)，在（

a+ a2+8

4

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x）=-x²+ax-lnx，
f′(x)=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

，
令f′（x）=0，
即-2x²+ax-1=0，
化簡(jiǎn)得：2x²-ax+1=0，
若△=a²-8≤0，
∴0＜a≤2

2

，
∴f′（x）≤0，
所以函數(shù)在（0，a）上為減函數(shù)；
若△=a²-8＞0，
∴a＞2

2

，
∵f′（x）=0，
得x₃=

a+ a2-8

4

，x₄=

a- a2-8

4

，且0＜x₃＜x₄＜a，
則當(dāng)x∈（0，x₃）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₄，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈（x₃，x₄）時(shí)，f′（x）＞0．
綜上，當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，

a+ a2+8

4

）上是單調(diào)減函數(shù)，在（

a+ a2+8

4

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)1≤a≤2

2

，時(shí)，函數(shù)在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上單調(diào)增．
當(dāng)a＞2

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，

a- a2-8

4

）上是單調(diào)減函數(shù)，在（

a+ a2-8

4

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．在區(qū)間（

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

），（a，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論思想在解題中的運(yùn)用，注意分類(lèi)的層次性，不可以重復(fù)和遺漏，屬于難題．