Question

在三棱拄中，側(cè)面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試在棱(不包含端點(diǎn))上確定一點(diǎn)的位置，使得；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                     

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證線面垂直，先考察線線垂直，易證，可試證，由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到點(diǎn)，使得，易知，那么這時(shí)就需要使，這時(shí)就轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面幾何問(wèn)題：以矩形的邊為直徑作圓，與的公共點(diǎn)即為所求，易知只有一點(diǎn)即的中點(diǎn) ，將以上分析寫(xiě)成綜合法即可，找到這一點(diǎn)后，也可用別的方法證明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直線與平面所成的角，根據(jù)其定義，應(yīng)作出這條直線在平面中的射影，再求這條直線與其射影的夾角（三角函數(shù)值），本題可考慮點(diǎn)在平面的射影，易知平面與側(cè)面垂直，所以點(diǎn)在平面的射影必在兩平面的交線上，過(guò)做的垂線交于，則為所求的直線與平面的夾角.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400034205001896/SYS201312140004341570135029_DA.files/image015.png">，，，所以，

，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400034205001896/SYS201312140004341570135029_DA.files/image020.png">側(cè)面，平面，所以，又，

所以，平面                                4分

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接 ，，，等邊中，

同理，， ，所以，可得，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400034205001896/SYS201312140004341570135029_DA.files/image020.png">側(cè)面，平面，所以，且，

所以平面，所以；                                  8分

（Ⅲ）側(cè)面，平面，得平面平面，

過(guò)做的垂線交于，平面

連接，則為所求，

因?yàn)? ，，所以 ，為的中點(diǎn)  得為的中點(diǎn)，

 ， 由（2）知 ，所以                  13分

考點(diǎn)：空間中直線與平面垂直、直線與平面平行、平面與平面垂直的判定與性質(zhì).