Question

如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知AA₁=2,,．

（1）求證：；

（2）試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；

（3）在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析    （2）見(jiàn)解析    （3）

【解析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理只需證明和即可.

(2) 易證,然后設(shè)CE=x,則 ,則,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820083038817483/SYS201207182009315131970977_DA.files/image007.png">,則，在直角三角形BEB₁中根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程,解出x的值，確定E為位置.

(3)本小題可以考慮向量法.求出兩個(gè)面的法向量，再求法向量的夾角，根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)求二面角

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820083038817483/SYS201207182009315131970977_DA.files/image009.png">側(cè)面，故．

   在△BC₁C中，．

由余弦定理有 ．

故有  而 且平面

．…….……………4分

（2）由

從而  且 故

 不妨設(shè)  ，則，則 

又  則^，

在直角三角形BEB₁中有，   從而

故為的中點(diǎn)時(shí)，．……………9分

 法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，

則由得    即

 ．

化簡(jiǎn)整理得       或 當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意

當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)故為的中點(diǎn)使． ……….…9分

（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，

的中點(diǎn)，的中點(diǎn)．連則，連則，

連則，連則，且為矩形，．

又． 故為所求二面角的平面角．

在中，．

．．…………15分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820083038817483/SYS201207182009315131970977_DA.files/image071.png">，   ．

故