Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A₁與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

(1) x²－y²=2， (2) B(2,)

(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.
即漸近線為y=±x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).
∴a==b,所求雙曲線C的方程為x²－y²=2.
(2)設(shè)直線l: y=k(x－)(0＜k＜1,
依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.
設(shè)直線l′:y=kx+m,應(yīng)有,
化簡得m²+2km=2                          ②
把l′代入雙曲線方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,
由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0 
可得m²+2k²="2                                 " ③
②、③兩式相減得k=m,代入③得m²=,解得m=,k=,
此時(shí)x=,y= 故B(2,).