Question

某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷(xiāo)量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回歸直線(xiàn)方程

y

=bx+a，其中b=-20，a=

.

y

-b

.

x

；并據(jù)此預(yù)測(cè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為9.5元時(shí)銷(xiāo)量約為多少件？
（2）預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 7元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）

Answer 1

分析：（1）分別求出

.

x

，

.

y

，由此能求出回歸直線(xiàn)方程

y

=-20x+250，由此能求出當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為9.5元時(shí)銷(xiāo)量約為60件．
（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得L=x（-20x+250）-7（-20x+250）=-20x²+390x-1750，由此能求出當(dāng)單價(jià)定為9.75元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）∵

.

x

=

1

6

(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，

.

y

=

1

6

(90+84+83+80+75+68)=80，（2分）
∴a=

.

y

-b

.

x

=80+20×8.5=250，
∴回歸直線(xiàn)方程

y

=-20x+250．（4分）
當(dāng)x=9.5時(shí)，

y

=-20×9.5+250=60
∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為9.5元時(shí)銷(xiāo)量約為60件． （6分）
（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得
L=x（-20x+250）-7（-20x+250）
=-20x²+390x-1750（8分）
=-20(x-

39

4

)2+151.25．（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=9.75時(shí)，L取得最大值．  （11分）
故當(dāng)單價(jià)定為9.75元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查回歸直線(xiàn)方程的求法和應(yīng)用，考查最大利潤(rùn)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．