Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n，求證

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將a_n+1=a_n²+a_n取倒數(shù)，后用裂項想消法化簡

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，根據(jù)題意可知數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列．所以結論得證．

解答： 證明：∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，
又∵a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n＞0，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=

1

2

-

1

an+1

＜

1

2

．

點評：本題考查遞推公式的應用和裂項項消法的靈活應用，屬于中檔題．