Question

【題目】已知函數(shù).

求函數(shù)在處的切線方程；

若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：.

若對(duì)于任意，直線與函數(shù)圖象都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】；證明見(jiàn)解析；.

【解析】

先求導(dǎo)得函數(shù)在處的切線方程為：，代入化簡(jiǎn)即可得結(jié)論.

根據(jù)在，處導(dǎo)數(shù)相等，即，為方程的根，

，解得，由韋達(dá)定理，的值寫出，

進(jìn)而求導(dǎo)可證.

將問(wèn)題傳化為有唯一零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

解：，

所以，

所以函數(shù)在處的切線方程為：

，

即，

根據(jù)題意得，，

即，為方程的根，

，

解得，

所以，，

所以

，

令，，

，，

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以，

所以，

所以.

根據(jù)題意得，方程只有一個(gè)根，

即，只有一個(gè)根，

令，有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于時(shí)，趨近于，

下面證明恒成立，

若存在，使得，

所以存在，，使得，，

，則與至少有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾.

由對(duì)于任意，只有一個(gè)解，得為上的增函數(shù)，

所以，

得，

令，，

則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

得.